MASTER 2 (2015) - Théories des champs quantiques topologiques

Cours approfondi du Master Mathématiques Recherche, 2ième année, Semestre 4 (2014-15) à l'Université Lille 1

par Alexis Virelizie

Présentation | Plan du cours | TD | Prérequis | Bibliographie | Informations pratiques

Présentation

Les théories des champs quantiques topologiques (TQFTs) ont pour origine des idées de la physique quantique. Depuis lors, la notion s'est considérablement développée dans de nombreuses directions, et a eu une influence importante en mathématiques, notamment en topologie de petite dimension. En particulier, les TQFTs forment un cadre qui organise certains invariants topologiques des variétés en une structure qui ne peut pas être capturée par les techniques standards de topologie algébrique.

Le but du cours est d'introduire la notion de TQFT du point de vue mathématique et d'étudier certains exemples, plus particulièrement en dimension 2 et 3. Nous aborderons également certains développements récents concernant les TQFTs étendues, qui ont un lien étroit avec les catégories supérieures.

Ce cours s'appuie sur le cours M2 fondamental Homologie et Topologie proposé au 1er semestre du M2 par Ivo Dell'Ambrogio et Benoit Fresse, et ouvre sur diverses thématiques de recherche actuelles (catégories de fusion, invariants quantiques, TQFTs étendues, etc...).

Plan prévisionnel du cours

§1. Introduction aux TQFTs

• Préliminaires algébriques (produit tensoriel, catégories monoïdales,...)
• Cobordismes
• Définition des TQFTs
• Premiers exemples

§2. TQFTs de dimension 2

• Préliminaires sur les surfaces (classification, triangulations,...)
• Construction de TQFTs de dimension 2 au moyen de groupes finis
• Classification des TQFTs de dimension 2 par les algèbres de Frobenius

§3. TQFTs de dimension 3

• Catégories de fusion et exemples
• Squelettes (ex: triangulations) des variétés de dimension 3
• Construction de TQFTs de dimension 3 au moyen de catégories de fusion

§4. TQFTs étendues

• Catégories supérieures
• TQFTs étendues de dimension 2

Travaux Dirigés

• TD1 - Catégories monoidales, pdf.

Prérequis

Il est recommandé d'avoir suivi le cours Homologie et Topologie du premier semestre, ou bien un cours équivalent.

Bibliographie

1. Atiyah, M., Topological quantum field theories, Publications Mathématiques de l'IHÉS 68 (1989), 175-186.
2. Etingof, P., Nikshych, D., Ostrik, V., On fusion categories, Annals of Mathematics 162 (2005), 581-642.
3. Koch, J., Frobenius algebras and 2D topological quantum field theories, London Mathematical Society Student Texts, 59. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
4. MacLane, S., Categories for the working mathematician, Second edition, Springer-Verlag, New York, 1998.
5. Schommer-Pries, C., The Classification of Two-Dimensional Extended Topological Field Theories, Thèse de Doctorat, 2009.
6. Turaev, V., Quantum invariants of knots and 3-manifolds, Second revised edition, de Gruyter Studies in Mathematics, 18. Walter de Gruyter, Berlin, 2010.

Informations pratiques

Dates et horaires :
Le cours aura lieu de janvier à avril 2015 et rapporte 12ECTS de crédits.

• Cours hebdomadaire le jeudi de 9h15 à 12h15, salle M3 Duhem.
• TD bi-hebdomadaire le vendredi de 10h15 à 12h15, salle M1 Fatou.

Lieu et transports :
Le cours se tiendra à l'UFR de Mathématique de l'Université Lille 1, campus "Cité Scientifique", Lille - Villeneuve d'Ascq.
Le campus "Cité Scientifique" est relié aux gares principales de Lille et au centre de la ville par une ligne de métro (compter 20mn pour rejoindre l'UFR depuis les gares).